72의 법칙이란 연 복리로 불어나는 돈이 두 배가 되기까지 걸리는 햇수를, 72를 연 수익률(%)로 나누어 어림하는 계산법이다. 계산기 없이 머릿속으로 답을 낼 수 있어 재테크와 연금저축을 따지는 자리에서 널리 쓰인다. 이 기사는 법칙을 쓰는 법, 왜 하필 72인지에 대한 증명의 방향, 72라는 숫자 자체의 성질(약수·소인수·서로소), 그리고 쓸 때 어긋나기 쉬운 지점을 차례로 짚는다.
72의 법칙은 어떻게 계산하고 복리와 무슨 관계인가
계산은 한 줄이다. 72를 연 수익률의 숫자로 나누면 원금이 두 배가 되는 대략의 햇수가 나온다. 연 6%라면 12년, 연 8%라면 9년, 연 12%라면 6년이다. 여기 든 숫자는 계산 방식을 보이기 위한 가정일 뿐 특정 상품의 수익을 뜻하지 않는다.
이 법칙이 복리에서만 성립하는 까닭은 이자에 다시 이자가 붙기 때문이다. 단리는 원금에만 이자가 붙어 해마다 늘어나는 금액이 같으므로, 두 배가 되는 기간은 100을 수익률로 나누면 된다. 복리는 늘어난 금액이 다시 불어나므로 같은 수익률이라도 두 배가 되는 기간이 단리보다 짧아진다. 72의 법칙은 이 복리의 속도를 나눗셈 한 번으로 줄여 놓은 것이다.
72의 법칙 증명: 왜 하필 72인가
증명의 뼈대는 로그다. 원금이 두 배가 되려면 (1+r)의 n제곱이 2가 되어야 하고, 이를 풀면 n은 2의 자연로그를 (1+r)의 자연로그로 나눈 값이 된다. 2의 자연로그는 약 0.693이고, r이 작을 때 (1+r)의 자연로그는 r에 가깝다. 그래서 n은 대략 69.3을 수익률(%)로 나눈 값이 되며, 이 때문에 69의 법칙이나 70의 법칙이라 부르기도 한다.
그런데도 72를 쓰는 이유는 두 가지로 설명된다. 하나는 수익률이 8% 안팎일 때 69.3보다 72가 실제 값에 더 가깝다는 점이다. 수익률이 커질수록 정확한 답이 69.3으로 계산한 값보다 조금씩 커지므로, 약간 큰 72가 오차를 줄여 준다. 다른 하나는 72가 여러 수로 나누어떨어져 암산이 쉽다는 점이다. 어느 쪽이든 72는 정확한 상수가 아니라 편의를 위해 고른 어림값이라는 점은 같다.
72의 약수·소인수·서로소: 숫자 72의 성질
72의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72로 모두 열두 개다. 72의 약수 개수가 많다는 점이 암산에 유리한 이유다. 2%, 3%, 4%, 6%, 8%, 9%, 12%로 나누면 나머지 없이 정수 햇수가 나오기 때문이다. 소인수분해는 2의 세제곱 곱하기 3의 제곱이며, 소인수는 2와 3 두 가지다. 약수의 개수는 각 지수에 1을 더해 곱한 (3+1)×(2+1)=12로도 확인된다.
72와 서로소인 수는 2로도 3으로도 나누어떨어지지 않는 수다. 1, 5, 7, 11, 13처럼 72와 소인수를 공유하지 않는 수가 여기에 든다. 1부터 72까지 이런 수는 모두 24개이며, 72에 2분의 1과 3분의 2를 차례로 곱해 얻는다. 이런 성질은 수학 문제에서 자주 묻지만 재무 계산의 정확도와는 관계가 없다. 한편 '72의 악마'라는 검색어는 이 계산법과 별개의 말로 보여 여기서는 다루지 않는다.
| 구분 | 내용 |
|---|---|
| 계산식 | 두 배가 되는 햇수 ≈ 72 ÷ 연 수익률(%) |
| 성립 조건 | 이자가 다시 원금에 합쳐지는 연 복리 |
| 정확한 식 | 2의 자연로그 ÷ (1+r)의 자연로그 |
| 72의 약수 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 (12개) |
| 72의 소인수 | 2와 3 |
| 72와 서로소인 수 | 1부터 72까지 24개 |
쓸 때 어긋나는 지점과 확인 순서
가장 흔한 오해는 수익률이 아주 높거나 아주 낮아도 똑같이 잘 맞는다는 생각이다. 어림값이므로 수익률이 매우 높은 구간에서는 오차가 커진다. 수익률이 해마다 일정하다는 가정도 실제와 다르다. 실제 금융상품의 성과는 해마다 달라지므로 이 법칙은 예측 도구가 아니라 가정 아래에서 감각을 잡는 도구다.
수수료와 세금, 물가도 함께 봐야 한다. 계산에 넣을 값은 겉으로 보이는 수익률이 아니라 비용과 세금을 뺀 뒤의 순수익률이다. 물가 상승률을 넣으면 돈의 구매력이 절반으로 줄어드는 기간도 같은 방식으로 어림할 수 있다. 연금저축처럼 오래 묻어 두는 자금은 기간이 길어 이런 차이가 크게 쌓인다. 세제상 조건과 한도는 해당 연도 고시 기준에 따라 달라지므로 이 계산에 섞지 않는 편이 안전하다.
판단의 순서는 단순하다. 먼저 이자가 다시 원금에 붙는 복리 구조인지 확인하고, 다음으로 수익률이 연 단위인지 살피며, 그다음 비용과 세금을 뺀 순수익률로 바꾼다. 마지막으로 그 수익률은 확정된 값이 아니라 가정이라는 점을 기억해 둔다. 실제 상품을 따져 볼 때는 상품설명서와 약관, 금융회사와 감독기관의 공식 안내에서 수익 구조와 수수료를 직접 확인하면 된다.
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